Kekuatan Komputasi Memberikan Ide Segar bagi Matematika
Evy Siscawati
Dalam bukunya tahun 1989, The Emperor’s New Mind, Roger Penrose
berkomentar tentang keterbatasan pengetahuan manusia dengan contoh: Ia
berkonjektur kalau kita tidak akan mungkin tahu apakah string 10 angka
tujuh berurutan akan muncul dalam ekspansi angka bilangan pi.
Hanya delapan tahun kemudian, Yasumasa Kanada menggunakan komputer
menemukan string tersebut, dimulai dari angka ke 22869046249 pi.
Penrose jelas tidak sendiri dalam ketidakmampuannya melihat kekuatan
besar yang dapat dibawa komputer. Banyak fenomena matematika yang di
masa lalu terlihat tak terpecahkan dan tidak dapat diketahui, sekarang
dapat diketahui, dengan presisi yang tinggi.
Dalam artikelnya, “Exploratory Experimentation and Computation,” yang
tampil bulan November 2011 di Notices of the American Mathematical
Society, David H. Bailey dan Jonathan M. Borwein menjelaskan bagaimana
teknologi komputer modern telah memperluas kemampuan kita mengetahui
hasil matematika baru. “Dengan menghitung ekspresi matematika pada
presisi sangat tinggi, komputer dapat menemukan hubungan dan rumus yang
sepenuhnya tak terduga,” kata Bailey.
Matematika, Ilmu tentang Pola
Mispersepsi umum adalah pekerjaan seorang matematikawan sepenuhnya
adalah menghitung. Jika itu benar, komputer semestinya sudah
menggantikan matematikawan sejak lama. Apa yang sesungguhnya dilkaukan
matematikawan adalah menemukan dan menyelidiki pola – pola yang muncul
dalam bilangan, dalam bentuk abstrak, dalam transformasi antara objek
matematis berbeda, dan sebaginya. Mempelajari pola demikian membutuhkan
alat yang tajam dan memuaskan, dan, hingga sekarang, komputer masih
merupakan alat yang terlalu tumpul, atau tidak cukup kuat, untuk berguna
banyak dalam matematika. Namun di saat yang sama, bidang matematika
tumbuh dan menjadi semakin dalam sehingga sekarang beberapa pertanyaan
yang muncul tampak membutuhkan kemampuan tambahan di luar otak manusia.
“Ada consensus yang mulai diterima kalau pikiran manusia pada dasarnya
tidak bagus dalam matematika dan harus dilatih,” kata Bailey. “Dengan
fakta ini, komputer dapat dilihat sebagai pelengkap manusia – kita dapat
berintuisi namun tidak pandai menghitung atau memanipulasi; komputer
tidak pandai berintuisi namun bagus dalam menghitung dan memanipulasi.”
Walaupun matematika disebut sebagai “ilmu deduktif”, matematikawan
selalu memakai eksplorasi, apakah lewat perhitungan atau gambar, untuk
menguji gagasan dan memperoleh intuisi, dengan cara yang kurang lebih
sama dengan ilmu induktif melakukan eksperimen. Sekarang, aspek induktif
matematika ini tumbuh lewat pemakaian komputer, yang telah meningkatkan
jumlah dan tipe eksplorasi yang dapat dilakukan. Komputer tentunya
digunakan untuk meringankan beban menghitung, namun ia juga dipakai
untuk memvisualisasi objek matematika, menemukan hubungan baru antar
objek tersebut, dan menguji (dan khususnya memfalsifikasi) konjektur.
Seorang matematikawan juga memakai komputer untuk mengeksplorasi hasil
untuk melihat apakah ia pantas untuk mencoba melakukan pembuktian. Jika
demikian, maka kadangkala komputer dapat memberi petunjuk tentang
bagaimana bukti dapat diteruskan. Bailey dan Borwien memakai istilah
“matematika eksperimental” untuk menjelaskan jenis pemakaian komputer
ini dalam matematika.
Mengeksplorasi Bilangan Prima dengan Komputer
Artikel mereka memberi beberapa contoh matematika eksperimental:
perhitungan angka pi yang disebut di atas adalah salah satunya. Contoh
lain disediakan oleh eksplorasi komputer pada masalah matematika yang
disebut konjektur Giuga. Konjektur ini mengajukan kalau, untuk setiap
bilangan bulat positif n, kita dapat menguji secara pasti apakah n
bilangan prima atau bukan dengan menghitung jumlah pasti dimana n muncul
dalam eksponen penjumlahan. Jumlah tersebut harus memiliki nilai
tertentu, sebut saja S, jika dan hanya jika n adalah bilangan prima;
dikatakan secara berbeda, jumlah tersebut tidak akan memiliki nilai S
jika dan hanya jika n bilangan komposit. Walaupun konjektur ini dibuat
tahun 1950, ia belum dapat terbukti hingga sekarang dan terlihat diluar
jangkauan metode matematika konvensional.
Walau begitu, Bailey dan Borwein, bersama dengan kolaboratornya, mampu
memakai komputer untuk menunjukkan kalau setiap bilangan yang merupakan
pengecualian dari konjektur Giuga harus memiliki lebih dari 3,678 faktor
prima dan lebih dari 17,168 angka desimal panjangnya. Yaitu, setiap
bilangan komposit yang lebih pendek tidak dapat memberikan nilai S. Ini
tidak membuktikan kalau konjektur Giuga benar, namun adalah bukti yang
meyakinkan dalam mendukung kebenaran konjektur tersebut. Jenis bukti
empiris ini kadang yang dibutuhkan untuk memberikan keyakinan yang cukup
bagi matematikawan untuk mendedikasikan energinya mencari bukti penuh.
Tanpa keyakinan tersebut, inspirasi untuk mencari bukti mungkin tidak
ada.
Dampak pada Pendidikan
Selain membahas pemanfaatan komputer dalam matematika, artikel ini juga
menyentuh kebutuhan untuk menyusun ulang pendidikan matematika untuk
memberi pelajar alat matematika eksperimental. “Pelajar masa kini hidup,
seperti kita, di dalam dunia kaya informasi tapi miskin penilaian
dimana ledakan informasi, dan alat, tidak akan hilang,” kata Borwein.
“Jadi kita harus mengajarkan penilaian (bukan hanya masalah plagiarism(
ketika memakai apa yang telah tersedia secara digital. Selain itu,
tampak bagi saya penting kalau kita merancang desain software – dan gaya
mengajar kita secara umum – dengan pemahaman kita yang semakin besar
mengenai kekuatan dan keterbatasan kognitif kita sebagai spesies.”
Sumber berita: American Mathematical Society
Thanks for reading: Kekuatan Komputasi Memberikan Ide Segar bagi Matematika
0 komentar